Graf logaritmu so základom 2 pretína os x (vodorovnú os) v bode 1 a prechádza bodmi so súradnicami (2, 1), (4, 2) a (8, 3). Napríklad log2(8) = 3, pretože 23 = 8. Graf sa ľubovoľne približuje k osi y, ale nestretáva sa s ňou ani ju nepretína.
Logaritmus čísla je exponent, o ktorý je potrebné zvýšiť inú pevnú hodnotu, základ, aby vzniklo toto číslo. Napríklad logaritmus čísla 1000 na základ 10 je 3, pretože 1000 je 10 na mocninu 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Všeobecnejšie, ak
x = by
, potom y je logaritmus x na základ b a píše sa y = logb(x), takže
log10(1000) = 3.
Logaritmy zaviedol John Napier na začiatku 17. storočia ako prostriedok na zjednodušenie výpočtov. Rýchlo si ich osvojili navigátori, vedci, inžinieri a ďalší, aby mohli jednoduchšie vykonávať výpočty pomocou posuvných pravidiel a logaritmických tabuliek. Zdĺhavé násobenie viacerými číslicami sa dá nahradiť hľadaním v tabuľkách a jednoduchším sčítaním, pretože logaritmus súčinu je súčtom logaritmov činiteľov, čo je samo osebe dôležité:
Dnešný pojem logaritmov pochádza od Leonharda Eulera, ktorý ich v 18. storočí spojil s exponenciálnou funkciou.
Logaritmus na základ
b = 10
) ako základ; jeho použitie je rozšírené v čistej matematike, najmä v počtoch. Binárny logaritmus používa základ
b = 2
Logaritmické stupnice redukujú rozsiahle veličiny na menšie rozsahy. Napríklad decibel je logaritmická jednotka, ktorá kvantifikuje pomer akustického tlaku a napätia. V chémii sú pH a pOH logaritmické miery kyslosti vodného roztoku. Logaritmy sú bežné vo vedeckých vzorcoch a pri meraní zložitosti algoritmov a geometrických objektov nazývaných fraktály. Opisujú hudobné intervaly, objavujú sa vo vzorcoch na počítanie prvočísiel, sú základom niektorých modelov v psychofyzike a môžu pomôcť pri súdnom účtovníctve.
Rovnako ako logaritmus obracia exponenciálu, komplexný logaritmus je inverznou funkciou exponenciálnej funkcie aplikovanou na komplexné čísla. Diskrétny logaritmus je ďalším variantom, ktorý sa používa v kryptografii verejných kľúčov.
Podstata logaritmov spočíva v obrátenej operácii exponenciácie, t. j. zvyšovaní čísla na mocninu. Napríklad tretia mocnina (alebo kocka) čísla 2 je 8, pretože 8 je súčinom troch činiteľov čísla 2:
Z toho vyplýva, že logaritmus čísla 8 vzhľadom na základ 2 je 3, takže log2 8 = 3.
Tretia mocnina nejakého čísla b je súčinom troch činiteľov čísla b. Všeobecnejšie povedané, zvýšenie čísla b na n-tú mocninu, kde n je prirodzené číslo, sa vykoná vynásobením n činiteľov čísla b. N-tá mocnina čísla b sa píše bn, takže
Exponentáciu možno rozšíriť na by, kde b je kladné číslo a exponent y je ľubovoľné reálne číslo. Napríklad b-1 je reciproká hodnota b, teda 1/b. [nb 1]
Logaritmus čísla x vzhľadom na základ b je exponent, o ktorý treba zvýšiť b, aby sme dostali x. Inými slovami, logaritmus čísla x vzhľadom na základ b je riešenie y rovnice
Logaritmus sa označuje ako „logb(x)“ (vyslovuje sa ako „logaritmus x na základ b“ alebo „logaritmus x na základ b“). V rovnici y = logb(x) je hodnota y odpoveďou na otázku „Na akú mocninu treba zvýšiť b, aby sme dostali x?“. Aby bol logaritmus definovaný, základ b musí byť kladné reálne číslo, ktoré sa nerovná 1, a x musí byť kladné číslo [nb 2].
Napríklad log2(16) = 4, pretože 24 = 2 ×2 × 2 × 2 = 16. Logaritmy môžu byť aj záporné:
Tretí príklad: log10(150) je približne 2,176, čo leží medzi 2 a 3, rovnako ako 150 leží medzi 102 = 100 a 103 = 1000. Napokon, pre akýkoľvek základ b platí, že logb(b) = 1 a logb(1) = 0, pretože b1 = b, resp. b0 = 1.
Niekoľko dôležitých vzorcov, ktoré sa niekedy nazývajú logaritmické identity alebo logaritmické zákony, dáva do vzájomného vzťahu logaritmy.
Súčin, kvocient, mocnina a koreň
Logaritmus logb(x) možno vypočítať z logaritmov x a b vzhľadom na ľubovoľný základ k pomocou nasledujúceho vzorca:
Typické vedecké kalkulačky počítajú logaritmy k základom 10 a e. Logaritmy vzhľadom na ľubovoľný základ b možno určiť pomocou ktoréhokoľvek z týchto dvoch logaritmov podľa predchádzajúceho vzorca:
Ak je dané číslo x a jeho logaritmus logb(x) k neznámemu základu b, základ je daný:
Spomedzi všetkých možností pre základ b sú tri obzvlášť časté. Sú to b = 10, b = e (iracionálna matematická konštanta ≈ 2,71828) a b = 2. V matematickej analýze je logaritmus do základu e rozšírený vďaka svojim osobitným analytickým vlastnostiam, ktoré sú vysvetlené nižšie. Na druhej strane, logaritmy so základom 10 sa ľahko používajú pri ručných výpočtoch v desiatkovej číselnej sústave:
Log10(x) teda súvisí s počtom desatinných číslic kladného celého čísla x: počet číslic je najmenšie celé číslo striktne väčšie ako log10(x). Napríklad log10(1430) je približne 3,15. Ďalšie celé číslo je 4, čo je počet číslic čísla 1430. Logaritmus na základ dva sa používa v informatike, kde je všadeprítomná dvojková sústava.
V nasledujúcej tabuľke sú uvedené bežné zápisy logaritmov do týchto základov a polia, v ktorých sa používajú. V mnohých odboroch sa namiesto logb(x) píše log(x), ak sa zamýšľaný základ dá určiť z kontextu. Vyskytuje sa aj zápis blog(x). V stĺpci „ISO notácia“ sú uvedené označenia navrhnuté Medzinárodnou organizáciou pre normalizáciu (ISO 31-11).
Babylončania niekedy v rokoch 2000-1600 pred n. l. možno vynašli algoritmus násobenia štvrtinou štvorca na násobenie dvoch čísel len pomocou sčítania, odčítania a tabuľky štvorcov. Nemohol sa však použiť na delenie bez dodatočnej tabuľky vzájomných súčtov. Veľké tabuľky štvrtinových štvorcov sa používali na zjednodušenie presného násobenia veľkých čísel od roku 1817, kým ich nenahradilo používanie počítačov.
Michael Stifel vydal v roku 1544 v Norimbergu publikáciu Arithmetica integra, ktorá obsahuje tabuľku celých čísel a mocnín 2, ktorá sa považuje za ranú verziu logaritmickej tabuľky.
V 16. a začiatkom 17. storočia sa na aproximáciu násobenia a delenia používal algoritmus nazývaný prosthafereza. Používala sa pri ňom trigonometrická identita
alebo podobne, aby sa násobenie premenilo na sčítanie a vyhľadávanie v tabuľke. Logaritmy sú však jednoduchšie a vyžadujú menej práce. Pomocou komplexných čísel sa dá ukázať, že ide v podstate o tú istú techniku.
John Napier (1550-1617), vynálezca logaritmov
Metódu logaritmov verejne predstavil John Napier v roku 1614 v knihe Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis zázračného pravidla logaritmov). Joost Bürgi vynašiel logaritmy nezávisle, ale publikoval ich šesť rokov po Napierovi.
Johannes Kepler, ktorý pri zostavovaní svojich efemeríd hojne používal logaritmické tabuľky, a preto ich venoval Johnovi Napierovi, poznamenal:
…dôraz vo výpočtoch priviedol Justusa Byrgiusa [Joosta Bürgiho] na cestu práve k týmto logaritmom mnoho rokov pred objavením Napierovho systému; ale …namiesto toho, aby vychovával svoje dieťa pre verejný prospech, opustil ho pri pôrode.
Opakovaným odčítaním Napier vypočítal (1 – 10-7)L pre L v rozsahu od 1 do 100. Výsledok pre L=100 je približne
0.99999 = 1 – 10-5
. Napier potom vypočítal súčiny týchto čísel s číslom 107(1 – 10-5)L pre L od 1 do 50 a podobne postupoval aj pri číslach 0,9998 ≈ (1 – 10-5)20 a 0,9 ≈ 0,99520. Tieto výpočty, ktoré mu zabrali 20 rokov, mu umožnili pre ľubovoľné číslo N od 5 do 10 miliónov určiť číslo L, ktoré rieši rovnicu
Napier najprv nazval L „umelým číslom“, ale neskôr zaviedol slovo „logaritmus“, ktoré znamená číslo označujúce pomer: λόγος (logos) znamená pomer a ἀριθμός (arithmos) znamená číslo. V modernom zápise je vzťah k prirodzeným logaritmom nasledovný:
kde veľmi tesná aproximácia zodpovedá pozorovaniu, že
Vynález sa rýchlo a vo veľkej miere stretol s uznaním. Práce Bonaventuru Cavalieriho (Taliansko), Edmunda Wingatea (Francúzsko), Xue Fengzuo (Čína) a
Johannesa Keplera Chilias logarithmorum (Nemecko) prispeli k ďalšiemu rozšíreniu tohto konceptu.
Hyperbola y = 1/x (červená krivka) a oblasť od x = 1 do 6 (oranžovo tieňovaná).
V roku 1647 Grégoire de Saint-Vincent spojil logaritmy s kvadratúrou hyperboly, keď poukázal na to, že plocha f(t) pod hyperbolou od x = 1 do x = t spĺňa
Prirodzený logaritmus prvýkrát opísal Nicholas Mercator vo svojom diele Logarithmotechnia vydanom v roku 1668, hoci učiteľ matematiky John Speidell už v roku 1619 zostavil tabuľku prirodzeného logaritmu. Okolo roku 1730 Leonhard Euler definoval exponenciálnu funkciu a prirodzený logaritmus
Euler tiež ukázal, že tieto dve funkcie sú navzájom inverzné.
Logaritmické tabuľky, posuvné pravidlá a historické aplikácie
Vysvetlenie logaritmov v Encyclopædii Britannica z roku 1797
Zjednodušením zložitých výpočtov prispeli logaritmy k rozvoju vedy, najmä astronómie. Boli rozhodujúce pre pokrok v geodézii, nebeskej navigácii a ďalších oblastiach. Pierre-Simon Laplace nazval logaritmy
[obdivuhodný trik, ktorý tým, že skráti prácu mnohých mesiacov na niekoľko dní, zdvojnásobí život astronóma a ušetrí ho chýb a znechutenia, ktoré sú neoddeliteľnou súčasťou dlhých výpočtov.
Kľúčovým nástrojom, ktorý umožnil praktické používanie logaritmov pred kalkulačkami a počítačmi, bola tabuľka logaritmov. Prvú takúto tabuľku zostavil Henry Briggs v roku 1617, hneď po Napierovom vynáleze. Následne boli napísané tabuľky s čoraz väčším rozsahom a presnosťou. Tieto tabuľky uvádzali hodnoty logb(x) a bx pre ľubovoľné číslo x v určitom rozsahu, s určitou presnosťou, pre určitý základ b (zvyčajne
b = 10
). Napríklad Briggsova prvá tabuľka obsahovala obyčajné logaritmy všetkých celých čísel v rozsahu 1 – 1 000 s presnosťou 8 číslic. Keďže funkcia f(x) = bx je inverznou funkciou logb(x), nazýva sa antilogaritmus. Súčin a kvocient dvoch kladných čísel c a d sa bežne počítal ako súčet a rozdiel ich logaritmov. Súčin cd alebo kvocient c/d vznikol vyhľadaním antilogaritmu súčtu alebo rozdielu, tiež prostredníctvom tej istej tabuľky:
Pri manuálnych výpočtoch, ktoré si vyžadujú značnú presnosť, je vykonanie vyhľadania dvoch logaritmov, výpočet ich súčtu alebo rozdielu a vyhľadanie antilogaritmu oveľa rýchlejšie ako vykonanie násobenia pomocou skorších metód, ako je napríklad prostatafereza, ktorá sa opiera o trigonometrické identity. Výpočty mocnín a koreňov sa redukujú na násobenie alebo delenie a vyhľadávanie pomocou
Ďalšou dôležitou aplikáciou bolo posuvné pravidlo, dvojica logaritmicky rozdelených stupníc, ktoré sa používali na výpočty, ako je znázornené na tomto obrázku:
Schematické znázornenie posuvného meradla. Od čísla 2 na spodnej stupnici pripočítajte vzdialenosť k číslu 3 na hornej stupnici, aby ste získali súčin 6. Pravítko funguje, pretože je označené tak, že vzdialenosť od 1 k x je úmerná logaritmu x.
Neposuvná logaritmická stupnica, Gunterovo pravidlo, bola vynájdená krátko po Napierovom vynáleze. William Oughtred ho zdokonalil a vytvoril posuvné pravidlo – dvojicu logaritmických stupníc pohyblivých voči sebe. Čísla sa na posuvné stupnice umiestňujú vo vzdialenostiach úmerných rozdielom ich logaritmov. Posúvanie hornej stupnice sa rovná mechanickému sčítaniu logaritmov. Napríklad pripočítaním vzdialenosti od 1 do 2 na spodnej stupnici k vzdialenosti od 1 do 3 na hornej stupnici vznikne súčin 6, ktorý sa odčíta na spodnej časti. Posuvné pravítko bolo až do 70. rokov 20. storočia základným výpočtovým nástrojom pre inžinierov a vedcov, pretože umožňuje na úkor presnosti oveľa rýchlejšie výpočty ako techniky založené na tabuľkách.
Hlbšie štúdium logaritmov si vyžaduje pojem funkcie. Funkcia je pravidlo, ktoré pri zadaní jedného čísla vytvára iné číslo. Príkladom je funkcia produkujúca x-tú mocninu b z ľubovoľného reálneho čísla x, kde základ (alebo radix) b je pevné číslo. Táto funkcia sa zapisuje takto
Na zdôvodnenie definície logaritmov je potrebné ukázať, že rovnica
má riešenie x a toto riešenie je jedinečné, ak je y kladné a b kladné a nerovná sa 1. Dôkaz tohto faktu si vyžaduje vetu o strednej hodnote z elementárneho kalkulu. Táto veta hovorí, že spojitá funkcia, ktorá dáva dve hodnoty m a n, dáva aj ľubovoľnú hodnotu, ktorá leží medzi m a n. Funkcia je spojitá, ak „neskáče“, t. j. ak sa jej graf dá nakresliť bez zdvihnutia pera.
Túto vlastnosť možno preukázať pre funkciu
f(x) = bx
. Keďže f nadobúda ľubovoľne veľké a ľubovoľne malé kladné hodnoty, ľubovoľné číslo y > 0 leží medzi f(x0) a f(x1) pre vhodné x0 a x1. Z toho vyplýva, že veta o strednej hodnote zaručuje, že rovnica f(x) = y má riešenie. Okrem toho existuje len jedno riešenie tejto rovnice, pretože funkcia f je striktne rastúca (pre b > 1), alebo striktne klesajúca (pre 0 < b < 1).
Jedinečné riešenie x je logaritmus y so základom b, logb(y). Funkcia, ktorá priradí y jeho logaritmus, sa nazýva logaritmická funkcia alebo logaritmická funkcia (alebo len logaritmus).
Graf logaritmickej funkcie logb(x) (modrý) získame odrazom grafu funkcie bx (červený) na uhlopriečke ( x = y ).
Vzorec pre logaritmus mocniny hovorí najmä to, že pre ľubovoľné číslo x,
V prozaickom vyjadrení, ak zoberieme x-tú mocninu čísla b a potom logaritmus základu b, dostaneme späť x. Naopak, ak je dané kladné číslo y, vzorec
hovorí, že najprv logaritmovaním a potom exponenciovaním dostaneme späť y. Teda dva možné spôsoby kombinácie (alebo skladania) logaritmov a exponenciovania dávajú späť pôvodné číslo. Preto je logaritmus na základ b inverznou funkciou f(x) = bx.
Inverzné funkcie úzko súvisia s pôvodnými funkciami. Ich grafy si navzájom zodpovedajú po výmene súradníc x a y (alebo po odraze od uhlopriečky x = y), ako je znázornené vpravo: bod (t, u = bt) na grafe f dáva bod (u, t = logbu) na grafe logaritmu a naopak. Z toho vyplýva, že logb(x) diverguje do nekonečna (zväčšuje sa nad ľubovoľné dané číslo), ak x rastie do nekonečna, za predpokladu, že b je väčšie ako jedna. V takom prípade je logb(x) rastúcou funkciou. Pre b < 1 má logb(x) namiesto toho tendenciu k mínus nekonečnu. Keď sa x blíži k nule, logb(x) pre b > 1 smeruje k mínus nekonečnu (resp. plus nekonečnu pre b < 1).
Derivát a antiderivát
Graf prirodzeného logaritmu (zelený) a jeho dotyčnice pri x = 1,5 (čierny)
Analytické vlastnosti funkcií prechádzajú na ich inverzie. Teda, ako
f(x) = bx
To znamená, že sklon dotyčnice dotýkajúcej sa grafu logaritmu bázy v bode (x, logb(x)) sa rovná 1/(x ln(b)). Konkrétne derivácia ln(x) je 1/x, z čoho vyplýva, že antiderivát 1/x je ln(x) + C. Derivát so zovšeobecneným funkčným argumentom f(x) je
Kvocient na pravej strane sa nazýva logaritmická derivácia f. Výpočet f'(x) pomocou derivácie ln(f(x)) sa nazýva logaritmické diferencovanie. Antiderivát prirodzeného logaritmu ln(x) je:
Súvisiace vzorce, napríklad antideriváty logaritmov k iným základom, možno odvodiť z tejto rovnice pomocou zmeny základov.
Integrálne vyjadrenie prirodzeného logaritmu
Prirodzený logaritmus t je zatienená oblasť pod grafom funkcie f(x) = 1/x (reciproká hodnota x).
Prirodzený logaritmus t súhlasí s integrálom 1/x dx od 1 do t:
Inými slovami, ln(t) sa rovná ploche medzi osou x a grafom funkcie 1/x v rozsahu od
x = 1
Rovnosť (1) rozdeľuje integrál na dve časti, zatiaľ čo rovnosť (2) je zmenou premennej (
w = x/t
). Na nasledujúcom obrázku rozdelenie zodpovedá rozdeleniu plochy na žltú a modrú časť. Zmenou mierky ľavej modrej plochy vertikálne o faktor t a jej zmenšením o rovnaký faktor horizontálne sa jej veľkosť nezmení. Ak ju vhodne presunieme, plocha sa prispôsobí grafu funkcie
f(x) = 1/x
Vizuálny dôkaz súčinového vzorca prirodzeného logaritmu
Vzorec výkonu
ln(tr) = r ln(t)
Druhá rovnosť využíva zmenu premenných (integráciu substitúciou),
w := x1/r
.
Súčet reciprokých čísel prirodzených čísel,
sa nazýva harmonický rad. Je úzko spätý s prirodzeným logaritmom: s rastúcim n sa rozdiel zväčšuje,
konverguje (t. j. ľubovoľne sa približuje) k číslu známemu ako Eulerova-Mascheroniho konštanta. Tento vzťah pomáha pri analýze výkonnosti algoritmov, ako je quicksort.
Transcendencia logaritmu
Logaritmus je príkladom transcendentnej funkcie a z teoretického hľadiska Gelfondova-Schneiderova veta tvrdí, že logaritmy zvyčajne nadobúdajú „ťažké“ hodnoty. Formálne tvrdenie sa opiera o pojem algebraických čísel, ktorý zahŕňa všetky racionálne čísla, ale aj čísla ako odmocnina z 2 alebo
Komplexné čísla, ktoré nie sú algebraické, sa nazývajú transcendentné; napríklad π a e sú takéto čísla. Takmer všetky komplexné čísla sú transcendentné. Na základe týchto pojmov Gelfondova-Scheiderova veta hovorí, že ak sú dané dve algebraické čísla a a b, logb(a) je buď transcendentálne číslo, alebo racionálne číslo p / q (v takom prípade aq = bp, takže a a b boli na začiatku úzko spojené).
Logaritmy sa dajú ľahko vypočítať v niektorých prípadoch, ako napr.
log10(1 000) = 3
. Vo všeobecnosti možno logaritmy vypočítať pomocou mocninových radov alebo aritmeticko-geometrického priemeru, alebo ich možno získať z predpočítanej logaritmickej tabuľky, ktorá poskytuje pevnú presnosť.
Newtonova metóda, iteračná metóda na približné riešenie rovníc, sa môže použiť aj na výpočet logaritmu, pretože jeho inverznú funkciu, exponenciálnu funkciu, možno vypočítať efektívne. Pomocou vyhľadávacích tabuliek možno na výpočet logaritmov použiť metódy podobné CORDIC-u, ak jedinými dostupnými operáciami sú sčítanie a bitové posuny. Okrem toho algoritmus binárneho logaritmu počíta lb(x) rekurzívne na základe opakovaných štvorcov x, pričom využíva vzťah
Taylorov rad ln(z) so stredom v z = 1. Animácia zobrazuje prvých 10 aproximácií spolu s 99. a 100. aproximáciou. Aproximácie nebudú konvergovať za vzdialenosťou 1 od stredu.
Pre každé reálne číslo z, ktoré spĺňa podmienky 0 < z < 2, platí nasledujúci vzorec: [nb 5]
Ide o skratku, ktorá hovorí, že ln(z) možno aproximovať na čoraz presnejšiu hodnotu pomocou nasledujúcich výrazov:
Napríklad pri z = 0,1 aproximácia prvého rádu dáva ln(1,1) ≈ 0,1, čo je menej ako 5 % od správnej hodnoty 0,0953.
Ďalší rad je založený na plošnej hyperbolickej tangenciálnej funkcii:
pre ľubovoľné reálne číslo z > 0. [nb 6] Pomocou Sigmovej notácie sa to zapíše aj ako
Tento rad možno odvodiť z vyššie uvedeného Taylorovho radu. Konverguje rýchlejšie ako Taylorov rad, najmä ak je z blízko 1. Napríklad pre
z = 1.5
, prvé tri členy druhého radu sa približujú k ln(1,5) s chybou približne 3×10-6. Rýchlu konvergenciu pre z blízko 1 možno využiť nasledujúcim spôsobom: ak je daná aproximácia s nízkou presnosťou y ≈ ln(z) a vložíme
Na výpočet logaritmu celých čísel možno použiť úzko súvisiacu metódu. Z uvedeného radu vyplýva, že:
Ak je známy logaritmus veľkého celého čísla n, potom tento rad dáva rýchlo konvergujúci rad pre log(n+1).
Aproximácia aritmeticko-geometrického priemeru
Aritmeticko-geometrický priemer poskytuje vysoko presné aproximácie prirodzeného logaritmu. ln(x) sa aproximuje s presnosťou 2-p (alebo p presných bitov) podľa nasledujúceho vzorca (vďaka Carlovi Friedrichovi Gaussovi):
Tu M označuje aritmeticko-geometrický priemer. Získa sa opakovaným výpočtom priemeru (aritmetický priemer) a druhej odmocniny súčinu dvoch čísel (geometrický priemer). Okrem toho sa m volí tak, aby
Aritmeticko-geometrický priemer, ako aj konštanty π a ln(2) možno vypočítať pomocou rýchlo konvergujúcich radov.
Nautilus zobrazujúci logaritmickú špirálu
Logaritmy majú mnoho aplikácií v matematike aj mimo nej. Niektoré z nich súvisia s pojmom invariantnosti mierky. Napríklad každá komora schránky nautilu je približnou kópiou ďalšej, zmenšenou o konštantný faktor. Vzniká tak logaritmická špirála. Benfordov zákon o rozložení vedúcich číslic možno tiež vysvetliť invariantnosťou mierky. Logaritmy súvisia aj so samopodobnosťou. Logaritmy sa objavujú napríklad pri analýze algoritmov, ktoré riešia problém tak, že ho rozdelia na dva podobné menšie problémy a ich riešenia opravia. Rozmery samopodobných geometrických útvarov, t. j. útvarov, ktorých časti sa podobajú celkovému obrazu, sú tiež založené na logaritmoch.
Logaritmické stupnice sú užitočné na kvantifikáciu relatívnej zmeny hodnoty na rozdiel od jej absolútneho rozdielu. Okrem toho, keďže logaritmická funkcia log(x) rastie pre veľké x veľmi pomaly, logaritmické stupnice sa používajú na komprimáciu rozsiahlych vedeckých údajov. Logaritmy sa vyskytujú aj v mnohých vedeckých vzorcoch, napríklad v Ciolkovského raketovej rovnici, Fenskeho rovnici alebo Nernstovej rovnici.
Logaritmický graf zobrazujúci hodnotu jednej zlatej marky v papierikoch počas nemeckej hyperinflácie v 20. rokoch 20. storočia
Vedecké veličiny sa často vyjadrujú ako logaritmy iných veličín pomocou logaritmickej stupnice. Napríklad decibel je logaritmická merná jednotka. Je založená na spoločnom logaritme pomerov – 10-násobku spoločného logaritmu pomeru výkonu alebo 20-násobku spoločného logaritmu pomeru napätia. Používa sa na kvantifikáciu strát úrovne napätia pri prenose elektrických signálov, na opis úrovne výkonu zvukov v akustike a absorpcie svetla v oblasti spektrometrie a optiky. V decibeloch sa meria aj pomer signál/šum, ktorý opisuje množstvo nežiaduceho šumu vo vzťahu k (zmysluplnému) signálu. V podobnom duchu sa špičkový odstup signálu od šumu bežne používa na hodnotenie kvality metód kompresie zvuku a obrazu pomocou logaritmu.
Sila zemetrasenia sa meria pomocou obyčajného logaritmu energie, ktorá sa pri zemetrasení uvoľní. Tento údaj sa používa v stupnici momentového magnitúda alebo v Richterovej stupnici. Napríklad pri zemetrasení s magnitúdou 5,0 sa uvoľní 10-násobok a pri zemetrasení s magnitúdou 6,0 100-násobok energie zemetrasenia s magnitúdou 4,0. Ďalšou logaritmickou stupnicou je zdanlivá magnitúda. Meria jasnosť hviezd logaritmicky. Ďalším príkladom je pH v chémii; pH je záporná hodnota všeobecného logaritmu aktivity hydróniových iónov (forma, ktorú vodíkové ióny H+ nadobúdajú vo vode). Aktivita hydróniových iónov v neutrálnej vode je 10-7 mol-L-1, teda pH 7. Ocot má zvyčajne pH približne 3. Rozdiel 4 zodpovedá pomeru 104 aktivity, to znamená, že aktivita hydróniových iónov v octe je približne 10-3 mol-L-1.
Logaritmy sa vyskytujú vo viacerých zákonoch opisujúcich ľudské vnímanie:
Hickov zákon navrhuje logaritmický vzťah medzi časom, ktorý jednotlivci potrebujú na výber alternatívy, a počtom možností, ktoré majú na výber. Fittsov zákon predpokladá, že čas potrebný na rýchly presun do cieľovej oblasti je logaritmickou funkciou vzdialenosti k cieľu a jeho veľkosti. V psychofyzike Weberov-Fechnerov zákon navrhuje logaritmický vzťah medzi podnetom a vnemom, napríklad medzi skutočnou a vnímanou hmotnosťou predmetu, ktorý človek nesie. (Tento „zákon“ je však menej presný ako novšie modely, napríklad Stevensov mocninový zákon).
Psychologické štúdie zistili, že matematicky nevzdelaní jedinci majú tendenciu odhadovať množstvá logaritmicky, to znamená, že umiestňujú číslo na neoznačenú čiaru podľa jeho logaritmu, takže 10 je umiestnené tak blízko k 20 ako 100 k 200. Zvyšujúce sa matematické chápanie posúva tento postup na lineárny odhad (umiestnenie 100 10x tak ďaleko).
Teória pravdepodobnosti a štatistika
Tri funkcie hustoty pravdepodobnosti (PDF) náhodných premenných s logaritmicko-normálnym rozdelením. Parameter polohy μ, ktorý je nulový pre všetky tri zobrazené PDF, je strednou hodnotou logaritmu náhodnej premennej, nie strednou hodnotou samotnej premennej.
Rozdelenie prvých číslic (v %, červené stĺpce) v populácii 237 krajín sveta. Čierne bodky označujú rozdelenie predpovedané Benfordovým zákonom.
Logaritmy sa objavujú v teórii pravdepodobnosti: zákon veľkých čísel hovorí, že pri spravodlivej minci sa s rastúcim počtom hodov mincou do nekonečna pozorovaný podiel hlavičiek blíži k polovici. Kolísanie tohto podielu okolo polovice opisuje zákon iterovaného logaritmu.
Logaritmy sa vyskytujú aj v logaritmicko-normálnom rozdelení. Ak má logaritmus náhodnej premennej normálne rozdelenie, hovorí sa, že premenná má logaritmicko-normálne rozdelenie. S logaritmicko-normálnymi rozdeleniami sa stretávame v mnohých oblastiach, kdekoľvek je premenná vytvorená ako súčin mnohých nezávislých kladných náhodných premenných, napríklad pri skúmaní turbulencie.
Logaritmy sa používajú na odhad maximálnej vierohodnosti parametrických štatistických modelov. Pri takomto modeli závisí pravdepodobnostná funkcia aspoň od jedného parametra, ktorý je potrebné odhadnúť. Maximum funkcie vierohodnosti nastáva pri rovnakej hodnote parametra ako maximum logaritmu vierohodnosti („log vierohodnosti“), pretože logaritmus je rastúca funkcia. Maximalizácia logaritmickej vierohodnosti je jednoduchšia, najmä v prípade násobených vierohodností pre nezávislé náhodné premenné.
Benfordov zákon popisuje výskyt číslic v mnohých súboroch údajov, ako sú napríklad výšky budov. Podľa Benfordovho zákona sa pravdepodobnosť, že prvá desatinná číslica položky vo vzorke údajov je d (od 1 do 9), rovná log10(d + 1) – log10(d) bez ohľadu na jednotku merania. Možno teda očakávať, že približne 30 % údajov bude mať ako prvú číslicu 1, 18 % začína číslicou 2 atď. Audítori skúmajú odchýlky od Benfordovho zákona, aby odhalili podvodné účtovníctvo.
Analýza algoritmov je odvetvie informatiky, ktoré skúma výkonnosť algoritmov (počítačových programov riešiacich určitý problém). Logaritmy sú cenné na opis algoritmov, ktoré rozdeľujú problém na menšie a spájajú riešenia čiastkových problémov.
O funkcii f(x) sa hovorí, že rastie logaritmicky, ak je f(x) (presne alebo približne) úmerná logaritmu x. (Biologické opisy rastu organizmov však používajú tento termín pre exponenciálnu funkciu.[83]) Napríklad každé prirodzené číslo N možno v binárnom tvare reprezentovať najviac log2(N) + 1 bitov. Inými slovami, množstvo pamäte potrebnej na uloženie N rastie logaritmicky s N.
Biliard na oválnom biliardovom stole. Dve častice, ktoré vychádzajú zo stredu s uhlom odlišným o jeden stupeň, sa vydajú po dráhach, ktoré sa chaoticky rozchádzajú v dôsledku odrazov na hranici.
Entropia je vo všeobecnosti mierou neusporiadanosti nejakého systému. V štatistickej termodynamike je entropia S nejakého fyzikálneho systému definovaná ako
Ide o súčet všetkých možných stavov i daného systému, napríklad polohy častíc plynu v nádobe. Okrem toho pi je pravdepodobnosť, že sa dosiahne stav i, a k je Boltzmannova konštanta. Podobne entropia v teórii informácie meria množstvo informácie. Ak príjemca správy môže s rovnakou pravdepodobnosťou očakávať ktorúkoľvek z N možných správ, potom množstvo informácie, ktorú prenáša ktorákoľvek takáto správa, sa vyčísľuje ako log2(N) bitov [84].
Ljapunovove exponenty používajú logaritmy na meranie stupňa chaotického charakteru dynamického systému. Napríklad v prípade častice pohybujúcej sa na oválnom biliardovom stole vedú aj malé zmeny počiatočných podmienok k veľmi odlišným dráham častice. Takéto systémy sú deterministicky chaotické, pretože malé chyby merania počiatočného stavu predvídateľne povedú k značne odlišným konečným stavom. 85 Aspoň jeden Ljapunovov exponent deterministicky chaotického systému je kladný.
Logaritmy sa vyskytujú v definíciách rozmerov fraktálov.Fraktály sú geometrické objekty, ktoré sú samopodobné: malé časti aspoň približne kopírujú celú globálnu štruktúru. Sierpinského trojuholník (na obrázku) môže byť pokrytý tromi kópiami seba samého, pričom každá z nich má strany o polovicu kratšie ako pôvodná dĺžka. To spôsobuje, že Hausdorffova dimenzia tejto štruktúry je
log(3)/log(2) ≈ 1,58
. Ďalší pojem dimenzie založený na logaritmoch sa získava počítaním počtu políčok potrebných na pokrytie daného fraktálu.
Logaritmy súvisia s hudobnými tónmi a intervalmi. V rovnomernom temperamente závisí pomer frekvencií len od intervalu medzi dvoma tónmi, nie od konkrétnej frekvencie alebo výšky jednotlivých tónov. Napríklad tón A má frekvenciu 440 Hz a B-dur má frekvenciu 466 Hz. Interval medzi tónmi A a B je poltón, rovnako ako interval medzi B a B (frekvencia 493 Hz). Z toho vyplýva, že frekvenčné pomery sa zhodujú:
Preto sa na opis intervalov môžu použiť logaritmy: interval sa meria v poltónoch pomocou logaritmu pomeru frekvencií so základom 21/12, zatiaľ čo logaritmus pomeru frekvencií so základom 21/1200 vyjadruje interval v centoch, stotinách poltónu. Ten sa používa na jemnejšie kódovanie, pretože je potrebný pre nerovnomerné temperamenty[87].
Prirodzené logaritmy úzko súvisia s počítaním prvočísel (2, 3, 5, 7, 11, …), čo je dôležitá téma v teórii čísel. Pre ľubovoľné celé číslo x sa množstvo prvočísel menších alebo rovných x označuje π(x). Veta o prvočíslach tvrdí, že π(x) je približne dané
v tom zmysle, že pomer π(x) a tohto zlomku sa blíži k 1, keď x smeruje k nekonečnu.[88] V dôsledku toho je pravdepodobnosť, že náhodne zvolené číslo medzi 1 a x je prvočíslo, nepriamo úmerná počtu desatinných číslic x. Oveľa lepší odhad π(x) je daný
posunutá logaritmická integrálna funkcia Li(x), definovaná vzťahom
Riemannovu hypotézu, jednu z najstarších otvorených matematických domnienok, možno vyjadriť porovnaním π(x) a Li(x).Erdős-Kacova veta popisujúca počet rôznych prvočísel tiež zahŕňa prirodzený logaritmus.
To sa dá použiť na získanie Stirlingovho vzorca, aproximácie n! pre veľké n.[90]
Polárny tvar z = x + iy. φ aj φ‘ sú argumenty z.
Komplexné čísla a riešenie rovnice
sa nazývajú komplexné logaritmy. Tu je z komplexné číslo. Komplexné číslo sa bežne reprezentuje ako
z = x + iy
, kde x a y sú reálne čísla a i je imaginárna jednotka. Takéto číslo možno znázorniť bodom v komplexnej rovine, ako je znázornené vpravo. V polárnom tvare je nenulové komplexné číslo z zakódované pomocou jeho absolútnej hodnoty, t. j. vzdialenosti r od počiatku, a uhla medzi osou x a priamkou prechádzajúcou počiatkom a z. Tento uhol sa nazýva argument z. Absolútna hodnota r z je
Argument nie je jednoznačne určený z: φ aj φ‘ = φ + 2π sú argumenty z, pretože pridanie 2π radiánov alebo 360 stupňov[nb 7] k φ zodpovedá „navíjaniu“ okolo počiatku proti smeru hodinových ručičiek o jednu otáčku. Výsledné komplexné číslo je opäť z, ako je znázornené vpravo. Presne jeden argument φ však spĺňa podmienky -π < φ a φ ≤ π. Nazýva sa hlavný argument a označuje sa Arg(z) s veľkým A.[91] (Alternatívna normalizácia je 0 ≤ Arg(z) < 2π.[92])
Hlavná vetva komplexného logaritmu, Log(z). Čierny bod pri z = 1 zodpovedá absolútnej hodnote nula a svetlejšie (sýtejšie) farby sa vzťahujú na väčšie absolútne hodnoty. Odtieň farby kóduje argument Log(z).
Pomocou trigonometrických funkcií sínus a kosínus, resp. komplexného exponenciálu, sú r a φ také, že platia nasledujúce totožnosti: [93]
Z toho vyplýva, že a-tá mocnina e sa rovná z, kde
φ je hlavný argument Arg(z) a n je ľubovoľné celé číslo. Každé takéto a sa nazýva komplexný logaritmus z. Na rozdiel od jednoznačne definovaného reálneho logaritmu ich je nekonečne veľa. Ak
n = 0
, a sa nazýva hlavná hodnota logaritmu, označuje sa Log(z). Hlavný argument ľubovoľného kladného reálneho čísla x je 0, preto Log(x) je reálne číslo a rovná sa reálnemu (prirodzenému) logaritmu. Uvedené vzorce pre logaritmy súčinov a mocnín sa však nezovšeobecňujú na hlavnú hodnotu komplexného logaritmu[94].
Obrázok vpravo znázorňuje Log(z). Nespojitosť, t. j. skok v odtieni v zápornej časti osi x alebo reálnej osi, je spôsobená skokom hlavného argumentu v tejto časti. Toto miesto sa nazýva rez vetvy. Toto správanie sa dá obísť len tak, že sa zruší obmedzenie rozsahu na φ. Potom sa argument z a následne aj jeho logaritmus stanú viachodnotovými funkciami.
Inverzie iných exponenciálnych funkcií
Exponentizácia sa vyskytuje v mnohých oblastiach matematiky a jej inverzná funkcia sa často označuje ako logaritmus. Napríklad logaritmus matice je (viachodnotová) inverzná funkcia maticového exponenciálu [95] Ďalším príkladom je p-adický logaritmus, inverzná funkcia p-adického exponenciálu. Obe sú definované prostredníctvom Taylorových radov analogicky ako v reálnom prípade. 96] V kontexte diferenciálnej geometrie exponenciálna mapa mapuje dotyčnicový priestor v bode množinového priestoru na okolie tohto bodu. Jej inverzná podoba sa nazýva aj logaritmická (alebo log) mapa[97].
V kontexte konečných grúp je exponenciácia daná opakovaným násobením jedného prvku grupy b samým sebou. Diskrétny logaritmus je celé číslo n, ktoré rieši rovnicu
kde x je prvok skupiny. Vykonanie exponenciácie sa dá vykonať efektívne, ale predpokladá sa, že diskrétny logaritmus sa v niektorých skupinách počíta veľmi ťažko. Táto asymetria má dôležité využitie v kryptografii verejných kľúčov, ako napríklad v Diffieho-Hellmanovej výmene kľúčov, čo je postup, ktorý umožňuje bezpečnú výmenu kryptografických kľúčov cez nezabezpečené informačné kanály[98]. 98 Zechov logaritmus súvisí s diskrétnym logaritmom v multiplikatívnej grupe nenulových prvkov konečného poľa[99].
Medzi ďalšie inverzné funkcie podobné logaritmu patrí dvojitý logaritmus ln(ln(x)), super- alebo hyper-4-logaritmus (jeho mierna variácia sa v informatike nazýva iterovaný logaritmus), Lambertova funkcia W a logit. Sú to inverzné funkcie dvojnásobnej exponenciálnej funkcie, tetrácie, funkcie f(w) = wew,[100] resp. logistickej funkcie[101].
Z pohľadu čistej matematiky vyjadruje identita log(cd) = log(c) + log(d) skupinový izomorfizmus medzi kladnými reálnymi číslami pri násobení a reálnymi číslami pri sčítaní. Logaritmické funkcie sú jediným spojitým izomorfizmom medzi týmito grupami. 102] Prostredníctvom tohto izomorfizmu Haarova miera (Lebesgueova miera) dx na reáloch zodpovedá Haarovej miere dx/x na kladných reáloch. 103] V komplexnej analýze a algebraickej geometrii sa diferenciálne formy tvaru
df/f
Polygaritmus je funkcia definovaná vzťahom
S prirodzeným logaritmom súvisí
Li1(z) = -ln(1 – z)
. Okrem toho sa Lis(1) rovná Riemannovej zeta funkcii ζ(s)[105].