Kategórie
Psychologický slovník

Štatistický súbor

V matematickej fyzike, najmä tak, ako ju do štatistickej mechaniky a termodynamiky zaviedol J. Willard Gibbs v roku 1878, je súbor (tiež štatistický súbor alebo termodynamický súbor) idealizácia pozostávajúca z veľkého počtu mentálnych kópií (prípadne nekonečne veľa) systému, ktoré sa posudzujú naraz a z ktorých každá predstavuje možný stav, v ktorom by sa skutočný systém mohol nachádzať.

Súbor formalizuje predstavu, že fyzik si môže predstaviť opakovanie experimentu za rovnakých makroskopických podmienok, ale keďže nemôže kontrolovať mikroskopické detaily, môže očakávať, že bude pozorovať rôzne výsledky.

Ak má súbor nekonečný počet členov, možno ho považovať za definíciu miery pravdepodobnosti v stavovom priestore (fázovom priestore) systému. Aj keď dynamika reálneho jednotlivého systému (napríklad úplného plynu molekúl alebo úplného burzového trhu) môže byť nevypočítateľne zložitá, stochastická alebo dokonca nespojitá, priemerné (štatistické) vlastnosti súboru možností ako celku môžu zostať dobre definované, plynulo sa vyvíjajúce alebo v prípade systémov v makroskopickej rovnováhe dokonca stacionárne.

Slovo súbor sa niekedy používa aj pre menšie súbory možností, ktoré sa vyberajú z úplného súboru možných stavov. Takto sa napríklad nazýva súbor chodcov v iterácii Markovovho reťazca Monte Carlo; alebo súbor predpovedí v meteorológii, kde sa celý súbor možných počiatočných stavov premieta dopredu, aby sa pokúsil poskytnúť predstavu o rozložení možných výsledkov predpovede; alebo klimatické súbory, kde sa tiež vzorkuje priestor makroskopicky možných porúch fyziky modelu.

Pomyselná veľkosť mentálnych súborov v termodynamike, štatistickej mechanike a kvantovej štatistickej mechanike môže byť skutočne veľmi veľká, aby zahŕňala všetky možné mikroskopické stavy, v ktorých sa systém môže nachádzať, v súlade s jeho pozorovanými makroskopickými vlastnosťami. V dôležitých fyzikálnych prípadoch je však možné šikovnými matematickými manipuláciami vypočítať priemery priamo v celom termodynamickom súbore a získať explicitné vzorce pre mnohé termodynamické veličiny, ktoré nás zaujímajú, často v termínoch rozdeľovacej funkcie Z, ktorá kóduje základnú fyzikálnu štruktúru systému. Niektoré z týchto výsledkov sú uvedené v článku Štatistická mechanika.

Ak sú stavy systému dokonale premiešané (ergodické) a súbor je veľký a zodpovedá pravdepodobnostnej miere, ktorá je invariantná pri tejto dynamike, potom by mal byť časový priemer veličiny zisťovaný za dostatočne dlhý čas pre jeden reálne sa vyvíjajúci systém dobre predpovedaný priemerom súboru, spriemerovaným cez členov súboru ako celku – t. j. priemernou hodnotou pre okamžité pozorovanie, ktoré sa pomyselne opakuje v mnohých rôznych systémoch. Toto je známe ako ergodická hypotéza. Ak tomu tak nie je, možno usudzovať, že o mikroskopickom stave systému je k dispozícii viac makroskopicky zistiteľných informácií, než sa pôvodne myslelo, ktoré možno využiť na vytvorenie lepšie podmieneného ansámblu.

Slovo súbor sa používa najmä v termodynamike, niektorými fyzikmi pracujúcimi v Bayesovej teórii pravdepodobnosti a matematikmi, ktorých práca v teórii pravdepodobnosti je silne ovplyvnená fyzikmi, najmä tými, ktorí pracujú s náhodnými maticami. Väčšina „čistých“ matematikov pracujúcich v teórii pravdepodobnosti tento termín nepoužíva a radšej používa terminológiu pravdepodobnostných priestorov.

Hlavné súbory štatistickej termodynamiky

Rôzne makroskopické obmedzenia prostredia vedú k rôznym typom súborov s osobitnými štatistickými charakteristikami. Najdôležitejšie sú tieto:

Výpočty, ktoré možno vykonať nad každým z týchto súborov, sú bližšie preskúmané v článku Štatistická mechanika. Hlavným výsledkom pre každý súbor je však jeho charakteristická stavová funkcia:

Možno definovať aj iné termodynamické súbory, ktoré zodpovedajú rôznym fyzikálnym požiadavkám a pre ktoré možno často odvodiť analogické vzorce.

Vlastnosti „dobrých“ súborov

pdf nad stavmi v súbore by malo odrážať ich rovnovážne pdf. Gibbsov stav.

Časové priemery makroskopických veličín, ktoré nás zaujímajú, majú šancu byť rovnaké ako priemery súboru len vtedy, ak systém vyvíjajúci sa v čase môže aktívne skúmať takmer všetky možnosti stavového priestoru zahrnuté v súbore (ergodicita). V opačnom prípade hustota pravdepodobnosti nad ansámblom nebude reprezentatívna pre hustotu pravdepodobnosti stavov v časovom vývoji. (Pozri ergodickú hypotézu).

Súbory v kvantovej štatistickej mechanike

Ak na chvíľu odhliadneme od otázky, ako sa štatistické súbory generujú operatívne, mali by sme byť schopní vykonať nasledujúce dve operácie na súboroch A, B toho istého systému:

Prevádzkový výklad

Dve námietky k vyššie uvedenej diskusii o súbore sú

V tejto časti sa pokúsime čiastočne odpovedať na túto otázku.

Predpokladajme, že máme postup prípravy systému vo fyzike
laboratóriu: Postup môže napríklad zahŕňať fyzikálny prístroj a
niektoré protokoly na manipuláciu s prístrojom. Výsledkom tohto prípravného postupu je nejaký systém
a udržiava sa v izolácii počas určitého malého časového obdobia.
Opakovaním tohto postupu laboratórnej prípravy získame
postupnosť systémov X1, X2,
….,Xk, o ktorej v našej matematickej idealizácii predpokladáme, že je nekonečnou postupnosťou systémov. Systémy sú si podobné v tom, že všetky boli vyrobené rovnakým spôsobom. Táto nekonečná postupnosť je súbor.

V laboratórnych podmienkach sa každý z týchto pripravených systémov môže použiť ako vstup
pre jeden následný testovací postup. Opäť platí, že testovací postup
zahŕňa fyzický prístroj a niektoré protokoly; v dôsledku toho sa
testovacieho postupu získame odpoveď áno alebo nie.
Vzhľadom na testovací postup E aplikovaný na každý pripravený systém získame postupnosť hodnôt
Meas(E, X1), Meas(E, X2),
…., Meas(E, Xk). Každá z týchto hodnôt je 0 (alebo nie) alebo 1 (áno).

Predpokladajme, že existuje nasledujúci časový priemer:

V prípade kvantovo mechanických systémov je dôležitým predpokladom
kvantovej logiky ku kvantovej mechanike je identifikácia otázok áno – nie na
mriežky uzavretých podpriestorov Hilbertovho priestoru. S niektorými ďalšími
technických predpokladov možno potom odvodiť, že stavy sú dané
operátormi hustoty S tak, že:

Ergodicita je podmienka, ktorá zaručuje, že priemerná hodnota makroskopickej veličiny (ako je entropia alebo vnútorná energia) v rámci všetkých členov súboru bude rovnaká ako priemerná hodnota v čase pre jeden systém (pozri ergodickú hypotézu).

on:צבר (מכניקה סטטיסטית)
en:Statistical ensemble