Nevyhnutnosť a dostatočnosť

V logike sa nevyhnutnosť a dostatočnosť vzťahujú na implikačné vzťahy medzi výrokmi. Tvrdenie, že jeden výrok je nutnou a postačujúcou podmienkou iného výroku, znamená, že prvý výrok je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je pravdivý druhý výrok.

Pravdivá nutná podmienka v podmienenom výroku robí výrok pravdivým. Z formálneho hľadiska je dôsledok N nutnou podmienkou pre antecedent S, v podmienkovom výroku „N ak S“, „N je implikovaný S“ alebo N S. Bežnými slovami by sme tiež povedali „N je slabší ako S“ alebo „S nemôže nastať bez N“. Napríklad je potrebné byť pomenovaný, aby sme sa mohli nazývať „Sokrates“.

Pravdivá postačujúca podmienka v podmienenom výroku viaže pravdivosť výroku na jeho dôsledok. Z formálneho hľadiska je antecedent S postačujúcou podmienkou pre dôsledok N v podmienkovom výroku: „ak S, potom N“, „S implikuje N“ alebo S N. Bežnými slovami by sme tiež povedali „S je silnejšie ako N“ alebo „S zaručuje N“. Napríklad „Sokrates“ postačuje pre Meno.

Slnko nad obzorom je nevyhnutnou podmienkou priameho slnečného žiarenia, ale nie postačujúcou podmienkou, pretože tieň môže vrhať aj niečo iné, napr. v prípade zatmenia.

Tvrdenie, že Q je nevyhnutné pre P, je hovorovo ekvivalentné tvrdeniu „P nemôže byť pravdivé, ak Q nie je pravdivé“ alebo „ak Q je nepravdivé, potom P je nepravdivé“. Kontrapozíciou je to to isté ako „vždy, keď je P pravdivé, je pravdivé aj Q“. Logická relácia medzi nimi sa vyjadruje ako „Ak P, potom Q“ a označuje sa „P Q“ (P implikuje Q) a môže sa vyjadriť aj ako niektorá z možností „Q, ak P“; „Q vždy, keď P“; a „Q, keď P“. Často sa napríklad v matematickej próze stretávame s viacerými nutnými podmienkami, ktoré spolu tvoria postačujúcu podmienku, ako je uvedené v príklade 5.

Doporučujeme:  Kontinentálny racionalizmus

To, že vlak jazdí podľa cestovného poriadku, je často postačujúcou podmienkou na to, aby sme prišli načas (ak vlak príde načas a človek doň nastúpi, pravdepodobne príde načas); nie je to však vždy nevyhnutná podmienka, pretože existujú aj iné spôsoby cestovania (ak vlak nepríde načas, človek sa môže do cieľa dostať načas inými dopravnými prostriedkami).

Tvrdenie, že P je postačujúce pre Q, znamená, že poznanie, že P je pravdivé, je samo o sebe dostatočným dôvodom pre záver, že Q je pravdivé (zároveň to znamená, že poznanie, že P nie je pravdivé, nie je samo o sebe dostatočným dôvodom pre záver, že Q nie je pravdivé). Logický vzťah sa vyjadruje ako „Ak P, potom Q“ alebo „P Q“ a môže sa vyjadriť aj ako „P implikuje Q“. Niekoľko postačujúcich podmienok môže spolu tvoriť jednu nevyhnutnú podmienku, ako je to znázornené v príklade 5.

Vzťah medzi nevyhnutnosťou a dostatočnosťou

Ak chcete splniť S, musíte byť v N. Keď sme v S, vieme, že sme v N.

Podmienka môže byť buď nevyhnutná, alebo postačujúca bez toho, aby bola druhou podmienkou. Napríklad byť cicavcom (N) je nevyhnutné, ale nie postačujúce na to, aby sme boli človekom (S), a to, že číslo x je racionálne (S), je postačujúce, ale nie nevyhnutné na to, aby x bolo reálnym číslom (N) (keďže existujú reálne čísla, ktoré nie sú racionálne).

Podmienka môže byť nutná aj postačujúca. Napríklad v súčasnosti je „dnes je štvrtého júla“ nutnou a postačujúcou podmienkou pre „dnes je Deň nezávislosti v Spojených štátoch“. Podobne nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre invertovateľnosť matice M je, že M má nenulový determinant.

Z matematického hľadiska sú nevyhnutnosť a dostatočnosť navzájom duálne. Pre ľubovoľné výroky S a N je tvrdenie, že „N je nevyhnutné pre S“, ekvivalentné tvrdeniu, že „S je postačujúce pre N“. Ďalším aspektom tejto duality je, že, ako je znázornené vyššie, konjunkciou (pomocou „a“) nutných podmienok možno dosiahnuť dostatočnosť, zatiaľ čo disjunkciou (pomocou „alebo“) postačujúcich podmienok možno dosiahnuť nevyhnutnosť. Tretím aspektom je stotožnenie každého matematického predikátu N s množinou T(N) objektov, udalostí alebo výrokov, pre ktoré N platí; potom tvrdenie o nevyhnutnosti N pre S je ekvivalentné tvrdeniu, že T(N) je podmnožinou T(S), zatiaľ čo tvrdenie o dostatočnosti S pre N je ekvivalentné tvrdeniu, že T(S) je podmnožinou T(N).

Doporučujeme:  Simulačné hry

Súčasná nevyhnutnosť a dostatočnosť

Povedať, že P je nevyhnutné a postačujúce pre Q, znamená povedať dve veci, že P je nevyhnutné pre Q a že P je postačujúce pre Q. Samozrejme, namiesto toho to možno chápať tak, že sa hovoria iné dve veci, a to, že každé z P a Q je nevyhnutné pre to druhé. A možno to chápať aj tretím ekvivalentným spôsobom: ako tvrdenie, že každé z nich je postačujúce pre druhé. Každý – a teda všetky tieto prípady – možno zhrnúť výrokom „P, ak a len ak Q“, ktorý sa označuje P Q.

Napríklad v teórii grafov sa graf G nazýva bipartitný, ak je možné každému z jeho vrcholov priradiť čiernu alebo bielu farbu tak, že každá hrana grafu G má jeden koncový bod každej farby. A aby bol graf bipartitný, je nutnou a postačujúcou podmienkou, aby neobsahoval žiadne cykly nepárnej dĺžky. Teda zistenie, či graf má nejaké nepárne cykly, nám povie, či je bipartitný, a naopak. Filozof
by mohol tento stav charakterizovať takto: „Hoci sa pojmy bipartitnosť a neprítomnosť nepárnych cyklov líšia v intencii, majú identickú extenziu.

Formy argumentov zahŕňajúce nevyhnutné a postačujúce podmienky

Neplatné formy argumentácie (t. j. omyly)