Časová hodnota peňazí (TVM) je spôsob výpočtu hodnoty peňažnej sumy v ktoromkoľvek čase v súčasnosti alebo v budúcnosti. Umožňuje nám vypočítať:
Predpokladom časovej hodnoty peňazí je, že investor radšej dostane peniaze dnes ako rovnakú sumu v budúcnosti, ak sú všetky ostatné podmienky rovnaké. V dôsledku toho investor požaduje ako kompenzáciu úrok, ktorý môže byť vyplácaný pravidelne alebo na konci obdobia. Úrok kompenzuje čas, za ktorý by sa peniaze mohli produktívne využiť, riziko nesplatenia a riziko inflácie (ako aj niektoré ďalšie technickejšie faktory).
Existuje niekoľko základných rovníc, ktoré predstavujú vyššie uvedené rovnosti. Premenné možno zadať do finančnej kalkulačky, zadať na ľubovoľnej vhodnej online kalkulačke alebo extrapolovať z online/tlačených tabuliek hodnôt.
V prípade ktorejkoľvek z nižšie uvedených rovníc je možné vzorce upraviť tak, aby sa určila jedna z ďalších neznámych. V prípade štandardného vzorca pre anuitu však neexistuje uzavreté algebraické riešenie pre úrokovú mieru (hoci finančné kalkulačky dokážu riešenia ľahko určiť).
Tieto rovnice sa často kombinujú na konkrétne účely. Napríklad dlhopisy sa dajú ľahko oceniť pomocou týchto rovníc. Typický kupónový dlhopis sa skladá z dvoch typov platieb: z prúdu kupónových platieb podobných anuite a z jednorazového vrátenia kapitálu na konci splatnosti dlhopisu – teda z budúcej platby. Tieto dva vzorce možno skombinovať a získať tak súčasnú hodnotu dlhopisu.
Dôležitou poznámkou je, že úroková miera r je úroková miera za príslušné obdobie. V prípade anuity, ktorá sa vypláca jedenkrát ročne, bude r ročná úroková sadzba. V prípade príjmu alebo toku platieb s iným splátkovým kalendárom sa úroková sadzba musí prepočítať na príslušnú periodickú úrokovú sadzbu, napríklad mesačnú sadzbu pre hypotéku s mesačnými platbami (pozri príklad nižšie). Podrobnosti o prepočte medzi rôznymi periodickými úrokovými sadzbami nájdete v časti Zložené úročenie.
Miera návratnosti vo výpočtoch môže byť buď riešená premenná, alebo vopred definovaná premenná, ktorá meria diskontnú sadzbu, úrok, infláciu, mieru návratnosti, náklady vlastného kapitálu, náklady dlhu alebo akýkoľvek iný analogický koncept. Výber vhodnej sadzby je pre úlohu rozhodujúci a výber nesprávnej diskontnej sadzby môže spôsobiť, že výsledky stratia zmysel. Vo väčšine prípadov je však matematika podobná, ak nie rovnaká.
Pri výpočte anuity sa musíte rozhodnúť, či sa platby uskutočnia na začiatku každého časového obdobia, alebo (ako v uvedených vzorcoch) na jeho konci. Kalkulačka, ktorú používate, umožní zadanie nejakým spôsobom.
Súčasná hodnota budúcej sumy
Vzorec pre súčasnú hodnotu je základným vzorcom pre časovú hodnotu peňazí; každý z ostatných vzorcov je odvodený od tohto vzorca. Napríklad vzorec pre anuitu je súčtom série výpočtov súčasnej hodnoty.
Budúca hodnota súčasnej sumy
Súčasná hodnota anuity
Budúca hodnota anuity
Súčasná hodnota rastúcej renty
Podobne ako vzorec pre anuitu, aj vzorec pre súčasnú hodnotu rastúcej anuity (PVGA) používa tie isté premenné s pridaním G ako miery rastu anuity (A je anuitná platba v prvom období). Ide o výpočet, ktorý sa na finančných kalkulačkách uvádza len zriedka.
Súčasná hodnota na dobu neurčitú
Vzorec PV trvalého výnosu (trvalej renty) je jednoduché delenie.
Súčasná hodnota rastúceho trvalého výnosu
Ak večná anuitná platba rastie pevnou sadzbou (g), hodnota sa teoreticky určí podľa nasledujúceho vzorca. V praxi existuje len málo cenných papierov s presne takýmito charakteristikami a aplikácia tohto prístupu k oceňovaniu podlieha rôznym výhradám a modifikáciám. Predovšetkým je zriedkavé nájsť rastúcu večnú rentu s pevnou mierou rastu a skutočnou večnou tvorbou peňažných tokov. Napriek týmto výhradám možno všeobecný prístup použiť pri oceňovaní nehnuteľností, akcií a iných aktív.
Vzorec pre budúcu hodnotu pravidelného toku budúcich platieb (anuity) sa odvodí zo súčtu vzorca pre budúcu hodnotu jednej budúcej platby, ako je uvedené nižšie, kde C je výška platby a n je časové obdobie.
Jednotlivá platba C v budúcom čase i má v budúcom čase n nasledujúcu budúcu hodnotu:
Súčet všetkých platieb od času 1 do času n, potom zmena poradia členov a substitúcia :
Všimnite si, že ide o geometrický rad, ktorého počiatočná hodnota je , multiplikatívny faktor je , s členmi. Použitím vzorca pre geometrický rad dostaneme
Súčasná hodnota anuity (PVA) sa získa jednoduchým delením :
Ďalším jednoduchým a intuitívnym spôsobom, ako odvodiť budúcu hodnotu anuity, je uvažovať o dôchodku, ktorého úrok sa vypláca ako anuita a ktorého istina zostáva konštantná. Istinu tohto hypotetického endowmentu možno vypočítať ako istinu, ktorej úrok sa rovná výške anuitnej platby:
Všimnite si, že do kombinovaného systému istiny + akumulovaných anuitných platieb nevstupujú ani z neho nevystupujú žiadne peniaze, a preto sa budúca hodnota tohto systému dá jednoducho vypočítať pomocou vzorca budúcej hodnoty:
Na začiatku, pred akýmikoľvek platbami, je súčasná hodnota systému len istina (). Na konci je budúcou hodnotou istina (ktorá je rovnaká) plus budúca hodnota celkových anuitných platieb (). Ak to dosadíme späť do rovnice:
Bez toho, aby sme tu ukázali formálne odvodenie, vzorec pre večné trvanie je odvodený zo vzorca pre anuitu. Konkrétne ide o výraz:
je vidieť, že s rastúcim n sa blíži k hodnote 1. V nekonečne sa rovná 1, takže zostáva jediný člen.
Sto eur, ktoré sa majú vyplatiť za rok, pričom očakávaná miera výnosu je 5 % ročne, má hodnotu v dnešných peniazoch:
Takže súčasná hodnota 100 EUR za rok pri 5 % je 95,23 EUR.
Príklad 2: Súčasná hodnota anuity – riešenie výšky platby
Zoberme si hypotéku na 30 rokov, ktorej istina P je 200 000 USD a ročná úroková sadzba je 6 %.
Počet mesačných platieb je
a mesačná úroková sadzba je
Vzorec pre anuitu (A/P) vypočíta mesačnú platbu:
Príklad 3: Riešenie obdobia potrebného na zdvojnásobenie peňazí
Uvažujte o vklade vo výške 100 USD uloženom s úrokovou sadzbou 10 % (ročne). Koľko rokov je potrebných, aby sa hodnota vkladu zdvojnásobila na 200 USD?
Pomocou algrebraickej identity, že ak:
Vzorec pre súčasnú hodnotu možno prestaviť takto:
Túto istú metódu možno použiť na určenie doby potrebnej na zvýšenie vkladu na akúkoľvek konkrétnu sumu, ak je známa úroková sadzba. Pre čas potrebný na zdvojnásobenie investície je pravidlo 72 užitočnou skratkou, ktorá poskytuje primeranú aproximáciu potrebného časového obdobia.
Príklad 4: Aký výnos je potrebný na zdvojnásobenie peňazí?
Podobne možno vzorec pre súčasnú hodnotu prestaviť tak, aby sa určila miera návratnosti potrebná na akumuláciu danej sumy z investície. Napríklad dnes sa investuje 100 USD a za päť rokov sa očakáva výnos 200 USD; akú mieru výnosnosti (úrokovú mieru) to predstavuje?
Vzorec pre súčasnú hodnotu prepočítaný na úrokovú mieru je:
Príklad 5: Vypočítajte hodnotu pravidelného sporiaceho vkladu v budúcnosti.
Výpočet budúcej hodnoty toku úspor v budúcnosti si vyžaduje dva kroky, prípadne spojenie týchto dvoch krokov do jedného veľkého vzorca. Najprv vypočítajte súčasnú hodnotu prúdu vkladov vo výške 1 000 USD každý rok počas 20 rokov s úročením 7 %:
Neznie to ako veľa, ale nezabudnite, že ide o budúce peniaze diskontované na ich dnešnú hodnotu, ktorá je pochopiteľne nižšia. Výpočet budúcej hodnoty (na konci dvadsaťročného obdobia):
Tieto kroky možno spojiť do jedného vzorca:
Príklad 6: Pomer cena/zisk (P/E)
Často sa spomína, že perpetuity, teda cenné papiere s nekonečne dlhou splatnosťou, sú zriedkavé alebo nereálne, a to najmä tie s rastúcou platbou. V skutočnosti má mnoho druhov aktív vlastnosti, ktoré sú podobné perpetuitám. Príkladom môžu byť nehnuteľnosti orientované na príjem, prioritné akcie a dokonca aj väčšina foriem verejne obchodovateľných akcií. Často sa môže mierne líšiť terminológia, ale vychádzajú zo základov výpočtu časovej hodnoty peňazí. Aplikácia tejto metodiky podlieha rôznym výhradám alebo modifikáciám, ako napríklad Gordonov model rastu.
Napríklad akcie sa bežne obchodujú s určitým pomerom ceny a zisku. Pomer P/E je ľahko rozpoznateľný ako variácia vzorcov pre večné výnosy alebo rastúce výnosy – s tým rozdielom, že pomer P/E sa zvyčajne uvádza ako inverzná hodnota k „miere“ vo vzorci pre večné výnosy.
Ak v súčasnosti nahradíme: cenu akcie za súčasnú hodnotu; zisk na akciu akcie za peňažnú anuitu; a diskontnú sadzbu akcie za úrokovú sadzbu, vidíme, že:
Pomer P/E je v skutočnosti analogický s inverznou úrokovou mierou (alebo diskontnou sadzbou).
Samozrejme, akcie môžu mať rastúce zisky. Vyššie uvedená formulácia neumožňuje rast ziskov, ale na zahrnutie rastu možno vzorec preformulovať takto:
Ak chceme určiť implikovanú mieru rastu (ak máme danú diskontnú sadzbu), môžeme riešiť g:
Vzorce časovej hodnoty peňazí s kontinuálnym zložením
Sadzby sa niekedy prepočítavajú na ekvivalent spojitej zloženej úrokovej miery, pretože spojitý ekvivalent je výhodnejší (napríklad sa ľahšie rozlišuje). Každý z vyššie uvedených vzorcov možno preformulovať do ich spojitých ekvivalentov. Napríklad súčasnú hodnotu budúcej platby možno preformulovať nasledujúcim spôsobom, kde e je základ prirodzeného logaritmu:
Vzorcové ekvivalenty vzorcov pre časovú hodnotu peňazí s kontinuálnym zložením nájdete nižšie.